簡単に不等式証明する方法　数学A

不等式の証明は数学の基礎であり、重要なスキルの一つです。今回は、具体例を通じて不等式の証明方法を解説します。

例題：x² – 4xy + 4y² ≥ 0 の証明

この不等式を証明するための手順は以下の通りです。しかし、どんな場合も

式≧0、式>0の形にすれば全てがうまくいきます。

手順1：左辺を整理する

まず、左辺を因数分解します。
[ x² – 4xy + 4y² ]
これは平方完成を使うと、次のように変形できます。
[ (x – 2y)² ]

手順2：平方の非負性を利用する

平方数は常に非負であるため、
[ (x – 2y)² ≥ 0 ]
したがって、元の不等式 x² – 4xy + 4y² ≥ 0 が成り立ちます。

手順3：等号成立条件を求める

等号が成立するのは、平方数が0になるときです。
[ (x – 2y)² = 0 ]
つまり、x = 2y のときに等号が成立します。

結論

以上の手順により、x² – 4xy + 4y² ≥ 0 を証明しました。このように、不等式の証明では、因数分解や平方完成を使うことが重要です。これを理解することで、より複雑な不等式の証明にも応用できるようになります。

参考リンク：Try IT